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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
r) f(x)=xe1xf(x)=x e^{\frac{1}{x}}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)
El dominio de ff es R−{0}\mathbb{R} - \{0\} 
2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Estudiamos el comportamiento de ff cuando xx tiende a 00:

lim⁡x→0−xe1x=0 \lim_{x \to 0^-} x e^{\frac{1}{x}} = 0

Acordate que e−∞=0e^{-\infty} = 0.

lim⁡x→0+xe1x \lim_{x \to 0^+} x e^{\frac{1}{x}}

En cambio, e+∞=+∞e^{+\infty} = +\infty, por lo tanto acá estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito". Reescribimos como un cociente:

lim⁡x→0+e1x1x \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}

Ahora nos quedó una indeterminación "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:

lim⁡x→0+−1x2e1x−1x2=lim⁡x→0+e1x=+∞ \lim_{x \to 0^+} \frac{-\frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty

Entonces, como al menos uno de los límites nos dio ∞\infty, eso ya basta para ponerle la etiqueta de asíntota vertical a x=0x=0.

- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞xe1x=+∞ \lim_{x \to +\infty} x e^{\frac{1}{x}} = +\infty

lim⁡x→−∞xe1x=−∞ \lim_{x \to -\infty} x e^{\frac{1}{x}} = -\infty 

Por lo tanto ff no tiene asíntotas horizontales 3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=e1x+xe1x(−1x2) f'(x) = e^{\frac{1}{x}} + x e^{\frac{1}{x}} \left(-\frac{1}{x^2}\right)  

f′(x)=e1x−1xe1x f'(x) = e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} f′(x)=(1−1x)e1x f'(x) = \left(1 - \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}   4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:

(1−1x)e1x=0 \left(1 - \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}} = 0

La función exponencial e1xe^{\frac{1}{x}} nunca es cero, por lo que: 1−1x=0 1 - \frac{1}{x} = 0 1x=1 \frac{1}{x} = 1  
x=1x = 1

Por tanto, el único punto crítico es x=1x = 1.  5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<0 x < 0 b) 0<x<10 < x < 1 c) x>1x > 1  6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos: a) Para x<0x < 0 f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. b) Para 0<x<10 < x < 1 f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente. c) Para x>1x > 1 f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

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