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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
r) $f(x)=x e^{\frac{1}{x}}$
r) $f(x)=x e^{\frac{1}{x}}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
La función exponencial $e^{\frac{1}{x}}$ nunca es cero, por lo que:
$ 1 - \frac{1}{x} = 0 $
$ \frac{1}{x} = 1 $
Reportar problema
El dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{0\}$
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Estudiamos el comportamiento de $f$ cuando $x$ tiende a $0$:
$ \lim_{x \to 0^-} x e^{\frac{1}{x}} = 0$
Acordate que $e^{-\infty} = 0$.
$ \lim_{x \to 0^+} x e^{\frac{1}{x}}$
En cambio, $e^{+\infty} = +\infty$, por lo tanto acá estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito". Reescribimos como un cociente:
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}} $
Ahora nos quedó una indeterminación "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{-\frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty$
Entonces, como al menos uno de los límites nos dio $\infty$, eso ya basta para ponerle la etiqueta de asíntota vertical a $x=0$.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} x e^{\frac{1}{x}} = +\infty$
$ \lim_{x \to -\infty} x e^{\frac{1}{x}} = -\infty$
Por lo tanto $f$ no tiene asíntotas horizontales
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = e^{\frac{1}{x}} + x e^{\frac{1}{x}} \left(-\frac{1}{x^2}\right) $
$ f'(x) = e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} $
$ f'(x) = \left(1 - \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}} $
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$ \left(1 - \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}} = 0 $
$x = 1$
Por tanto, el único punto crítico es $x = 1$.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $ x < 0$
b) $0 < x < 1$
c) $x > 1$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 0$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
b) Para $0 < x < 1$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
c) Para $x > 1$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: